設函數.（1）討論的單調區間；（2）若，求*：.

問題詳情：

設函數.

（1）討論的單調區間；

（2）若，求*：.

【回答】

【詳解】（1）依題意定義域為，，

令，則，

①當時，當時，，在單調遞減，當時，，在單調遞增；

②當時，當時，，在單調遞增，當時，，在單調遞減；

綜上，當時，在單調遞減，在單調遞增；

當時，在單調遞增，在單調遞減.

（2）①當時，設，

；

②當時，設

則，當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

所以；

設，則，

所以單調遞增，所以，所以即單調遞增，

故；

因為，所以

即，所以，

即.

解法二：

（1）同解法一；

（2）設，則，

設，則，

設，則，所以在上單調遞增，

所以，，所以在上單調遞增，

又因為，，即，

所以恰有一個零點；

即，即，

當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

所以，

設，因為，

所以，

所以在上單調遞增，所以，

所以，即.

解法三：

（1）同解法一；

（2）同解法二得，

設，因為，所以

設則

所以當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

所以，即，

所以在上單調遞增，則，

所以，即.

【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調*，極值，不等式*，*中構造函數求最值，構造雙函數是基本處理方法，要熟練掌握，是中檔題.

知識點：導數及其應用

題型：解答題