已知函數滿足:①;②.(Ⅰ)設,若函數()在區間上單調遞增,求實數的取值範圍;(Ⅱ)設函數,討論此函數在定義域...
問題詳情:
已知函數滿足:①;②.
(Ⅰ)設,若函數()在區間上單調遞增,求實數的取值範圍;
(Ⅱ)設函數,討論此函數在定義域範圍內的零點個數.
【回答】
解:(Ⅰ), ①
又,即,②
將①式代入②式,得,又∵
∴,. ……………………………………………2分
依題意有
在區間上單調遞增,
又函數在區間上單調遞增
且在區間上恆成立 ……………………4分
,即 解得
故實數的取值範圍是.……………………………………6分
(Ⅱ)方法1 ∵ 函數
有解,即
又∵
∴ 的最小值為,
∴
又
即 (*)
∴當t>2時,方程(*)有2個不同的實數根;
當t=2時,方程(*)有1個實數根;
當t<2時,方程(*)沒有實數根.
綜上:當時t>2,函數在定義域範圍內有2個零點;
當t=2時,函數在定義域範圍內有1個零點;
當1<t<2時,函數在定義域範圍內沒有零點.…………12分
方法2∵ 函數
有解,即
又∵
∴ 的最小值為
∴t>1
又
即
∴當t>2時,直線與拋物線有2個不同的交點;
當t=2時,直線與拋物線有1個交點;
當t<2時,直線與拋物線沒有交點.
綜上:當t>2時,函數在定義域範圍內有2個零點;
當t=2時,函數在定義域範圍內有1個零點;
當1<t<2時,函數在定義域範圍內沒有零點.………12分
知識點:*與函數的概念
題型:解答題