已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1處取得極值，且f(1)＝－1.(1)試求常數a，b，c的...

問題詳情：

已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1處取得極值，且f(1)＝－1.

(1)試求常數a，b，c的值；

(2)試判斷x＝±1是函數的極大值點還是極小值點，並説明理由．

【回答】

[解]　f′(x)＝3ax2 ＋2bx＋c，

(1)法一：∵x＝±1是函數的極值點，

∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的兩根．

由根與係數的關係知

又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，                                       ③

由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.

法二：由f′(1)＝f′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0，                      ①

3a－2b＋c＝0，                                                      ②

又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，      ③

由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.

(2)f(x)＝x3－x，

∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．

當x＜－1或x＞1時f′(x)＞0，

當－1＜x＜1時，f′(x)＜0.

∴函數f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函數，

在(－1,1)上是減函數．

∴當x＝－1時，函數取得極大值，x＝－1為極大值點；當x＝1時，函數取得極小值，x＝1為極小值點．

知識點：導數及其應用

題型：解答題