設函數f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.(1)若函數f(x)的兩個極值點為x1，x2，且x1x2＝1...

問題詳情：

設函數f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.

(1)若函數f(x)的兩個極值點為x1，x2，且x1x2＝1，求實數a的值．

(2)是否存在實數a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的單調函數？若存在，求出a的值；若不存在，説明理由．

【回答】

解：f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋2a.

(1)∵x1，x2是函數f(x)的兩個極值點，

∴f′(x1)＝f′(x2)＝0，

即x1，x2是18x2＋6(a＋2)x＋2a＝0的兩個根，

從而x1x2＝＝1，∴a＝9.

(2)∵Δ＝36(a＋2)2－4×18×2a＝36(a2＋4)＞0，∴不存在實數a，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的單調函數．

知識點：導數及其應用

題型：解答題