已知,在等邊△ABC中,AB=2,D,E分別是AB,BC的中點(如圖1).若將△BDE繞點B逆時針旋轉,得到△...
問題詳情:
已知,在等邊△ABC中,AB=2,D,E分別是AB,BC的中點(如圖1).若將△BDE繞點B逆時針旋轉,得到△BD1E1,設旋轉角爲α(0°<α<180°),記*線CE1與AD1的交點爲P.
(1)判斷△BDE的形狀;
(2)在圖2中補全圖形,
①猜想在旋轉過程中,線段CE1與AD1的數量關係並*;
②求∠APC的度數;
(3)點P到BC所在直線的距離的最大值爲 .(直接填寫結果)
【回答】
【考點】作圖-旋轉變換.
【分析】(1)由D,E分別是AB,BC的中點得到DE=BC,BD=BA,加上△ABC爲等邊三角形,則∠B=60°,BA=BC,所以BD=BE,於是可判斷△BDE爲等邊三角形;
(2)①根據旋轉的*質得△BD1E1爲等邊三角形,則BD1=BE1,∠D1BE1=60°,而∠ABC=60°,所以∠ABD1=∠CBE1,則路旋轉的定義,△ABD1可由△CBE1繞點B逆時針旋轉得到,然後根據旋轉的*質得CE1=AD1;
②由於△ABD1可由△CBE1繞點B逆時針旋轉得到∠BAD1=∠BCE1,然後根據三角形內角和定理和得∠APC=∠ABC=60°;、
(3)由於∠APC=∠D1BE1=60°,則可判斷點P、D1、B、E1共圓,於是可判斷當BP⊥BC時,點P到BC所在直線的距離的最大值,此時點E1在AB上,然後利用含30度的直角三角形三邊的關係可得點P到BC所在直線的距離的最大值.
【解答】解:(1)∵D,E分別是AB,BC的中點,
∴DE=BC,BD=BA,
∵△ABC爲等邊三角形,
∴∠B=60°,BA=BC,
∴BD=BE,
∴△BDE爲等邊三角形;
(2)①CE1=AD1.理由如下:
∵△BDE繞點B逆時針旋轉,得到△BD1E1,
∴△BD1E1爲等邊三角形,
∴BD1=BE1,∠D1BE1=60°,
而∠ABC=60°,
∴∠ABD1=∠CBE1,
∴△ABD1可由△CBE1繞點B逆時針旋轉得到,
∴CE1=AD1;
②∵△ABD1可由△CBE1繞點B逆時針旋轉得到,
∴∠BAD1=∠BCE1,
∴∠APC=∠ABC=60°;
(3)∵∠APC=∠D1BE1=60°,
∴點P、D1、B、E1共圓,
∴當BP⊥BC時,點P到BC所在直線的距離的最大值,此時點E1在AB上,
在Rt△PBC中,PB=AB=×2=2,
∴點P到BC所在直線的距離的最大值爲2.
故*爲2.
【點評】本題考查了作圖﹣旋轉變換:根據旋轉的*質可知,對應角都相等都等於旋轉角,對應線段也相等,由此可以透過作相等的角,在角的邊上截取相等的線段的方法,找到對應點,順次連接得出旋轉後的圖形.也考查了等邊三角形的*質.
知識點:圖形的旋轉
題型:解答題