用數學歸納法*：tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(n－1)α·tannα＝－n(n∈...

問題詳情：

用數學歸納法*：

tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝－n(n∈N*，n≥2)．

【回答】

*　(1)當n＝2時，右邊＝－2＝－2＝＝tan α·tan 2α＝左邊，等式成立．

(2)假設當n＝k(k∈N*且k≥2)時，等式成立，即

tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＝－k，

那麼當n＝k＋1時，

tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α

＝－k＋tan kα·tan(k＋1)α

＝＋1＋tan kα·tan(k＋1)α－(k＋1)

＝＋－(k＋1)

＝－(k＋1)．

這就是說，當n＝k＋1時等式也成立．

由(1)(2)知，對任何n∈N*且n≥2，原等式成立．

知識點：推理與*

題型：解答題