已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，E...

問題詳情：

已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB=BC=2AD=4，E、F分別是AB、CD上的點，EF∥BC，AE = x，G是BC的中點．沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如圖）.

（1）當x=2時，求*：BD⊥EG ；

（2）若以F、B、C、D爲頂點的三棱錐的體積記爲，求的最大值；

（3）當取得最大值時，求二面角D-BF-C的餘弦值．

【回答】

（1）方法一：∵平面平面，

AE⊥EF，∴AE⊥平面，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，故可如圖建立空間座標系E-xyz．

，又爲BC的中點，BC=4，

．則A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），（－2，2，2），（2，2，0），

（－2，2，2）（2，2，0）＝0，∴．…4分

方法二：作DH⊥EF於H，連BH，GH， 由平面平面知：DH⊥平面EBCF，

而EG平面EBCF，故EG⊥DH．

爲平行四邊形，且

，四邊形BGHE爲正方形，∴EG⊥BH，BHDH＝H，

故EG⊥平面DBH， 而BD平面DBH，∴ EG⊥BD．………4分

（2）∵AD∥面BFC，所以 =VA-BFC＝

，即時有最大值爲． ………8分

（3）設平面DBF的法向量爲，∵AE=2， B（2，0，0），D（0，2，2），

F（0，3，0），∴（－2，2，2），

則 ，即，取，∴

，面BCF一個法向量爲

則cos<>=，………13分

由於所求二面角D-BF-C的平面角爲鈍角，所以此二面角的餘弦值爲－．………14分

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題