已知開口向下的拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸的交點爲A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸的交點爲C，OC...
問題詳情：
已知開口向下的拋物線y＝ax2﹣2ax+3與x軸的交點爲A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸的交點爲C，OC＝3OA
（1）請直接寫出該拋物線解析式；
（2）如圖，D爲拋物線的頂點，連接BD、BC，P爲對稱軸右側拋物線上一點．若∠ABD＝∠BCP，求點P的座標
（3）在（2）的條件下，M、N是拋物線上的動點．若∠MPN＝90°，直線MN必過一定點，請求出該定點的座標．
【回答】
【解析】（1）當x＝0時，y＝ax2﹣2ax+3＝3，
∴C（0，3），OC＝3OA＝3，
∴OA＝1，A（﹣1，0），
把點A（﹣1，0）代入拋物線解析式得：a+2a+3＝0，
解得：a＝﹣1，
∴拋物線解析式爲y＝﹣x2+2x+3；
（2）如圖1，若點P在拋物線對稱軸右側且在x軸上方，
過點P作PE∥y軸交BC於點E，PF⊥BC於點F，過點D作DH⊥x軸於點H，
∴∠CFP＝∠BHD＝90°，
∵當y＝﹣x2+2x+3＝0時，解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點D（1，4），
∴DH＝4，BH＝3﹣1＝2，
∴BD＝
，
∴Rt△BDH中，sin∠ABD＝
，
∵C（0，3）
∴BC＝
，PC＝
，
設直線BC解析式爲y＝kx+b，
∴
，解得：
，
∴直線BC解析式爲y＝﹣x+3，
設P（p，﹣p2+2p+3）（1＜p＜3），則E（p，﹣p+3），
∴PE＝﹣p2+2p+3﹣（﹣p+3）＝﹣p2+3p，
∵S△BCP＝
PE•OB＝
BC•PF，
∴PF＝
，
∵∠ABD＝∠BCP，
∴Rt△CPF中，sin∠BCP＝
＝sin∠ABD＝
，
∴PF＝
PC，
∴PF2＝
PC2，
解得：p1＝﹣1（捨去），p2＝
，
∴﹣p2+2p+3＝
，
∴點P座標爲（
，
）
如圖2，若點P在x軸下方，
∵tan∠ABD＝
＝2＞tan45°，
∴∠ABD＞45°，
∵∠BCP＜∠BOC即∠BCP＜45°，
∴∠ABD與∠BCP不可能相等．
綜上所述，點P座標爲（
，
）；
（3）如圖3，過P作PH∥y軸，分別過點M、N作MG⊥PH於G，NH⊥PH於H．
設直線MN的解析式爲y＝kx+n，M（x1，y1）、N（x2，y3），
令kx+n＝﹣x2+2x+3，即＝x2+（k﹣2）x+n﹣3＝0，
∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝n﹣3，
∴y1+y2＝k（x1+x2）+2n＝k（2﹣k）+2n，
y1y2＝（kx1+n）（kx2+n）＝k2x1x2+nk（x1+x2）+n2＝﹣3k2+2nk+n2，
∵∠G＝∠MPN＝∠H，
∴△MPG∽△PNH，
∴
，
∵P座標爲（
，
），
MG＝
﹣x1，PH＝y1﹣
，HN＝
，GP＝
，
∴
，
整理，得
，
∴
，
解得 k1＝﹣3n+
，k2＝
，
∴直線MN；y＝（﹣3n+
）x+n＝（﹣3x+1）n+
，過定點（
，
）；
或y＝（
）x+n＝（
）n+
，過定點（
，
）即P點，捨去．
∴直線MN過定點（
，
）．
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：綜合題
