若存在常数、、，使得无穷数列满足则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差.设数列为“段比...
问题详情：
若存在常数
、
、
，使得无穷数列
满足
则称数列
为“段比差数列”，其中常数
、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列
为“段比差数列”.
（1）若
的首项、段长、段比、段差分别为1、3、
、3.
①当
时，求
；
②当
时，设的前
项和为
，若不等式
对
恒成立，求实数
的取值范围；
（2）设为等比数列，且首项为
，试写出所有满足条件的
，并说明理由.
【回答】
．（1）①方法一：∵
的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，
，
，
. ……………3分
方法二：∵
的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，
∴
，
，
，
，
，
，
，…
∴当
时，是周期为3的周期数列.
∴
. ……………3分
②方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，
∴
，
∴
是以为首项、6为公差的等差数列，
又
，
， ……………6分
，
，设
，则
，
又
，
当
时，
，
；当
时，
，
，
∴
，∴
， ……………9分
∴
，得
. ……………10分
方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，
∴
，∴
，∴
是首项为
、公差为6的等差数列，
∴
，
易知中删掉
的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，
，
， ………………6分
以下同方法一.
（2）方法一：设
的段长、段比、段差分别为
、
、
，
则等比数列的公比为
，由等比数列的通项公式有
，
当
时，
，即
恒成立， ……………12分
①若
，则
，
；
②若
，则
，则
为常数，则
，
为偶数，
，
；
经检验，满足条件的的通项公式为或. ……………16分
方法二：设的段长、段比、段差分别为
、
、
，
①若
，则
，
，
，
，
由
，得
；由
，得
，
联立两式，得
或
，则
或
，经检验均合题意. …………13分
②若
，则
，
，
，
由，得
，得
，则，经检验适合题意.
综上①②，满足条件的的通项公式为
或
. …
知识点：数列
题型：解答题
