如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C...

问题详情：

如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．

（1）求*：AC平分∠FAB；

（2）求*：BC2=CE•CP；

（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．

【回答】

（1）*见解析；（2）*见解析；（3）．

【解析】

（1）根据已知先*∠ACF=∠ACE，再根据等角的余角相等即可*得；

（2）只要*△CBE∽△CPB，可得即可解决问题；

（3）作BM⊥PF于M，则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的*质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；

【详解】（1）∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，

∵∠BCP=∠BCE，

∴∠ACF=∠ACE，

∵∠AFC=90°，∠AEC=90°，

∴∠FAC=∠EAC，

即AC平分∠FAB；

（2）∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，

∴∠OCP=∠CEB=90°，

∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，

∴∠BCE=∠BCP，

∵CD是直径，

∴∠CBD=∠CBP=90°，

∴△CBE∽△CPB，

∴，

∴BC2=CE•CP；

（3）如图，作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，

设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，

∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，

∴∠MCB=∠PBM，

∵CD是直径，BM⊥PC，

∴∠CMB=∠BMP=90°，

∴△BMC∽△PMB，

∴，

∴BM2=CM•PM=3a2，

∴BM=a，

∴tan∠BCM=，

∴∠BCM=30°，

∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°，

∴的长=．

【点睛】本题考查了切线的*质、圆周角定理、相似三角形的判定与*质、解直角三角形的应用等，综合*较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相似三角形的判定与*质定理是解题的关键.

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题