已知定义域为R的函数是奇函数（1）求a值；（2）判断并该函数在定义域R上的单调；（3）若对任意的t∈R，...

国语站题库 1.11W

问题详情：

已知定义域为R的函数是奇函数（1）求a值；（2）判断并*该函数在定义域R上的单调*；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；（4）设关于x的函数F（x）=f（4x-b）+f（-2x+1）有零点，求实数b的取值范围．

【回答】

解：（1）由题设，需，∴a=1， ∴，经验*，f（x）为奇函数， ∴a=1．（2）减函数 *：任取x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2-x1＞0， f（x2）-f（x1）=- =， ∵x1＜x2 ∴0＜＜； ∴-＜0，（1+）（1+）＞0 ∴f（x2）-f（x1）＜0 ∴该函数在定义域R 上是减函数．（3）由f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0得f（t2-2t）＜-f（2t2-k）， ∵f（x）是奇函数，∴f（t2-2t）＜f（k-2t2），由（2）知，f（x）是减函数 ∴原问题转化为t2-2t＞k-2t2，即3t2-2t-k＞0 对任意t∈R 恒成立， ∴=4+12k＜0，得即为所求．（4）原函数零点的问题等价于方程f（4x-b）+f（-2x+1）=0有解，由（3）知，4x-b=2x+1，即方程b=4x-2x+1有解 ∴4x-2x+1=（2x）2-2×2x=（2x-1）2-1≥-1，∴当b∈[-1，+∞）时函数存在零点．