如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=6．（Ⅰ）若点E是AB的中点，求*：BM∥平...

问题详情：

如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=6．

（Ⅰ）若点E是AB的中点，求*：BM∥平面NDE；

（Ⅱ）在线段AB上找一点E，使二面角D﹣CE﹣M的大小为时，求出AE的长．

【回答】

【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．

【分析】（I）如图所示，连接AM交ND于点F，连接EF．利用正方形的*质可得AF=FM，利用三角形的中位线定理可得：EF∥BM．利用线面平行的判定定理可得：BM∥平面NDE．

（II）由DM⊥AD，利用面面垂直的*质定理可得：DM⊥平面ABCD，DM⊥DC．以DA，DC，DM所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设E（3，b，0），设平面MCE的法向量为=（x，y，z），则，解得．取平面ABCD的法向量=（0，0，1）．根据二面角D﹣CE﹣M的大小为时，可得=，解出b即可．

【解答】（I）*：如图所示，连接AM交ND于点F，连接EF．

∵四边形ADMN是正方形，∴AF=FM，

又AE=EB，∴EF∥BM．

∵BM⊄平面NDE，EF⊂平面NDE，

∴BM∥平面NDE．

（II）解：由DM⊥AD，平面ADMN⊥平面ABCD，平面ADMN∩平面ABCD=AD，

∴DM⊥平面ABCD，∴DM⊥DC，又AD⊥DC．

以DA，DC，DM所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

设E（3，b，0），D（0，0，0），C（0，6，0），M（0，0，3）．

=（3，b﹣6，0），=（0，﹣6，3）．

设平面MCE的法向量为=（x，y，z），则，

取y=1，则z=2，x=．

∴=．

取平面ABCD的法向量=（0，0，1）．

∵二面角D﹣CE﹣M的大小为时，∴ ==，

解得b=（0≤b≤6）．

∴二面角D﹣CE﹣M的大小为时，AE=．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题