设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s<t时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为...

问题详情：

设，对1，2，···，n的一个排列，如果当s<t时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．

（1）求的值；

（2）求的表达式(用n表示)．

【回答】

（1）2  5

（2）n≥5时，

【解析】

分析：（1）先根据定义利用枚举法确定含三个元素的*中逆序数为2的个数，再利用枚举法确定含四个元素的*中逆序数为2的个数；（2）先寻求含n个元素的*中逆序数为2与含n+1个元素的*中逆序数为2的个数之间的关系，再根据叠加法求得结果.

详解：解：（1）记为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有

，

所以．

对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．

因此，．

（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以．

逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以．

为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．

因此，．

当n≥5时，

，

因此，n≥5时，．

点睛：探求数列通项公式的方法有观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.寻求相邻项之间的递推关系，是求数列通项公式的一个有效的方法.

知识点：数列

题型：解答题