1. 如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O...

国语站题库 2.74W

问题详情：

如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．（1）求*：AE是半圆O的切线；（2）若PA=2，PC=4，求AE的长．

【回答】

（1）*：∵在矩形ABCD中，∠ABO=∠OCE=90°， ∵OE⊥OA， ∴∠AOE=90°， ∴∠BAO+∠AOB=∠AOB+∠COE=90°， ∴∠BAO=∠COE， ∴△ABO∽△OCE， ∴=， ∵OB=OC， ∴， ∵∠ABO=∠AOE=90°， ∴△ABO∽△AOE， ∴∠BAO=∠OAE，过O作OF⊥AE于F， ∴∠ABO=∠AFO=90°，在△ABO与△AFO中，， ∴△ABO≌△AFO（AAS）， ∴OF=OB， ∴AE是半圆O的切线；（2）解：∵AF是⊙O的切线，AC是⊙O的割线， ∴AF2=AP•AC， ∴AF==2， ∴AB=AF=2， ∵AC=6， ∴BC==2， ∴AO==3， ∵△ABO∽△AOE， ∴， ∴=， ∴AE=．【解析】

（1）根据已知条件推出△ABO∽△OCE，根据相似三角形的*质得到∠BAO=∠OAE，过O作OF⊥AE于F，根据全等三角形的*质得到OF=OB，于是得到AE是半圆O的切线；（2）根据切割线定理得到AF==2，求得AB=AF=2，根据勾股定理得到BC==2，AO==3，根据相似三角形的*质即可得到结论．本题考查了切线的判定和*质，矩形的*质，相似三角形的判定和*质，全等三角形的判定和*质，正确的作出辅助线是解题的关键．