如图,AB为⊙O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交于点D,过点D作DE∥AC,交BA的延长线于点E,连...
问题详情:
如图,AB为⊙O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交于点D,过点D作DE∥AC,交BA的延长线于点E,连接AD、CD.
(1)求*:DE是⊙O的切线;
(2)若OA=AE=2时,
①求图中*影部分的面积;
②以O为原点,AB所在的直线为x轴,直径AB的垂直平分线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,试在线段AC上求一点P,使得直线DP把*影部分的面积分成1∶2的两部分.
【回答】
(1)*:如解图,连接OC,
∵OA=OC,F为AC的中点,
∴OD⊥AC,
又∵DE∥AC,
∴OD⊥DE,
∵OD为⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:①由(1)得OD⊥DE,
∴∠EDO=90°,
∵OA=AE=2,
∴OA=OD=AD=2,
∴△AOD是等边三角形,
∴∠AOD=∠DAO=60°,
∴∠ACD=∠AOD=30°,
又∵AC⊥OD,
∴∠CAO=∠CAD=30°,
∴∠ACD=∠CAO,
∴CD∥AB,
∴S△ACD=S△OCD,
∴S*=S扇形OCD,
∵∠CAD=∠OAD-∠OAC=60°-30°=30°,
∴∠COD=2∠CAD=60°,
∴S*==π;
②由已知得:A(-2,0),C(1,),
∴直线AC的表达式为y=x+,
如解图,过点P1分别作P1M⊥x轴,P1N⊥AD,垂足分别M,N,
由①得AC平分∠OAD,
∴P1M=P1N,
设P1(x,x+)(-2≤x≤1),
P1M=P1N=x+,
∵直线DP1把*影部分面积分成1∶2的两部分,
若S△AP1D=S*,即×2·(x+)=×π,
解得:x=,此时P1(,),
若S△AP2D=S*,同理可求得P2(,),
综上所述:满足条件的点P的坐标为P1(,)和P2(,).
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题