设函数，为正实数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求*：；（3）若函数有且只有个零点，求的值．

问题详情：

设函数，为正实数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求*：；

（3）若函数有且只有个零点，求的值．

【回答】

（1）当时，，则，

所以，又，

所以曲线在点处的切线方程为

   （2）因为，设函数，

则，  

令，得，列表如下：

所以的极大值为．

所以．

（3），，

令，得，因为，

所以在上单调增，在上单调减．

所以．

设，因为函数只有1个零点，而，

所以是函数的唯一零点．

当时，，有且只有个零点，

此时，解得．

下*，当时，的零点不唯一．

若，则，此时，即，则．

由（2）知，，又函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，

所以在和之间存在的零点，则共有2个零点，不符合题意；

若，则，此时，即，则．

同理可得，在和之间存在的零点，则共有2个零点，不符合题意．

因此，所以的值为．

知识点：不等式

题型：解答题