如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们...

问题详情：

如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，下面四个结论正确的有(     )个．

①BP=CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．

A．1    B．2    C．3    D．4

【回答】

C【考点】全等三角形的判定与*质；等边三角形的*质．

【专题】计算题；动点型．

【分析】由三角形ABC为等边三角形，得到三边相等，且内角为60°，根据题意得到AP=BQ，利用SAS得到三角形ABQ与三角形CAP全等；由全等三角形对应角相等得到∠AQB=∠CPA，利用三角形内角和定理即可确定出∠CMQ的度数不变，始终等于60°；分∠QPB与∠PQB为直角两种情况求出t的值，即可作出判断．

【解答】解：BP不一定等于CM，选项①错误；

根据题意得：AP=BQ=t，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=AC，

在△ABQ和△CAP中，

，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），选项②正确；

∴∠AQB=∠CPA，

在△APM中，∠PMA=180°﹣∠APM﹣∠PAM，

∵∠CMQ=∠PMA=180°﹣∠APM﹣∠PAM，

在△ABQ中，∠ABQ=60°，

∴∠AQB+∠BAQ=120°，

∴∠PAM+∠APM=120°，

∴∠CMQ=∠PMA=60°，选项③正确；

若∠PQB=90°，由∠PBQ=60°，得到PB=2BQ，即4﹣t=2t，

解得：t=；

若∠QPB=90°，由∠PBQ=60°，得到BQ=2PB，即t=2（4﹣t），

解得：t=，

综上，当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形，选项④正确，

故选C

【点评】此题考查了全等三角形的判定与*质，等边三角形的*质，以及直角三角形的*质，熟练掌握全等三角形的判定与*质是解本题的关键．

知识点：三角形全等的判定

题型：选择题