定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图1，损...

问题详情：

定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．

（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段　   　．

（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．

（3）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB＝3，BD＝，求BC的长．

【回答】

【解答】解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；

（2）作图如图：

∵点P为AC中点，

∴PA＝PC＝AC．

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴BP＝DP＝AC，

∴PA＝PB＝PC＝PD，

∴点A、B、C、D在以P为圆心， AC为半径的同一个圆上；

（3）∵菱形ACEF，

∴∠ADC＝90°，AE＝2AD，CF＝2CD，

∴四边形ABCD为损矩形，

∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD＝45°，

∴，

∴AD＝CD，

∴四边形ACEF为正方形．

∵BD平分∠ABC，BD＝，

∴点D到AB、BC的距离h为4，

∴S△ABD＝AB×h＝2AB＝6，

S△ABC＝AB×BC＝BC，

S△BDC＝BC×h＝2BC，S△ACD＝S正方形ACEF＝AC2＝（BC2+9），

∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABD+S△BCD

∴BC+（BC2+9）＝6+2BC

∴BC＝5或BC＝﹣3（舍去），

∴BC＝5．

知识点：圆的有关*质

题型：解答题