过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已...

问题详情：

过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点A作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴的交点为C，已知

(1)求椭圆的离心率；

(2)设动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q，若x轴上存在一定点M(1,0)，使得PM⊥QM，求椭圆的方程．

【回答】

解：(1)∵A(－a,0)，设直线方程为y＝2(x＋a)，B(x1，y1)．

令x＝0，则y＝2a，∴C(0,2a)，

∴x1＋a＝(－x1)，y1＝(2a－y1)，

整理，得x1＝－a，y1＝a.

∵B点在椭圆上，

∴＝，

∴＝，即1－e2＝，

∴e＝.

(2)∵＝，可设b2＝3t，a2＝4t，

∴椭圆的方程为3x2＋4y2－12t＝0.

由得

(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12t＝0.

∵动直线y＝kx＋m与椭圆有且只有一个公共点P，

∴Δ＝0，即64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12t)＝0，整理得m2＝3t＋4k2t.

设P(x1，y1)，

又Q(4,4k＋m)，x轴上存在一定点M(1,0)，使得PM⊥QM，

∴·(－3，－(4k＋m))＝0恒成立．

整理，得3＋4k2＝m2，

∴3＋4k2＝3t＋4k2t恒成立．

故t＝1，所求椭圆方程为＋＝1.

知识点：空间中的向量与立体几何

题型：解答题