已知以點(t∈R,t≠0)爲圓心的圓與x軸交於點O、A,與y軸交於點O、B,其中O爲原點.(1)求*:△OAB...
問題詳情:
已知以點 (t∈R,t≠0)爲圓心的圓與x軸交於點O、A,與y軸交於點O、B,其中O爲原點.
(1)求*:△OAB的面積爲定值;
(2)設直線y=-2x+4與圓C交於點M、N,若|OM|=|ON|,求圓C的方程.
【回答】
∵圓C過原點O,∴r2=t2+.
設圓C的方程是(x-t)2+2=t2+,
令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,
得x1=0,x2=2t.
∴S△OAB=OA×OB=××|2t|=4,
即△OAB的面積爲定值.
(2)解 ∵OM=ON,CM=CN,
∴OC垂直平分線段MN.
∵kMN=-2,∴kOC=.
∴直線OC的方程是y=x.
∴=t.解得t=2或t=-2.
當t=2時,圓心C的座標爲(2,1),OC=,
此時C到直線y=-2x+4的距離d=<,
圓C與直線y=-2x+4相交於兩點.
當t=-2時,圓心C的座標爲(-2,-1),OC=,
此時C到直線y=-2x+4的距離d=>,
圓C與直線y=-2x+4不相交,
∴t=-2不符合題意,捨去.
∴圓C的方程爲(x-2)2+(y-1)2=5.
知識點:圓與方程
題型:解答題