在△ABC中,AE⊥CD且AE=CD,∠CAE+2∠BAE=90°.(1)如圖1,若△ACE爲等邊三角形,CD...
問題詳情:
在△ABC中,AE⊥CD且AE=CD,∠CAE+2∠BAE=90°.
(1)如圖1,若△ACE爲等邊三角形,CD=2,求AB的長;
(2)如圖2,作EG⊥AB,求*:AD=BE;
(3)如圖3,作EG⊥AB,當點D與點G重合時,連接BF,請直接寫出BF與EC之間的數量關係.
【回答】
(1)AB=3;(2)*見解析;(3).
【解析】
(1)求出∠BAE=15°,∠CBA=45°,過點A作AN⊥BC於點N,則△ABN爲等腰直角三角形,求出AN的長,則AB的長可求出;
(2)過點C作CM⊥AB於點M,設∠EAB=α,得出AM=DM=AD,AC=CD=AE,*△ACM≌△EAG(AAS),得出EG=AM,*出△EBG爲等腰直角三角形,可得出BE=EG=AM=AD.則結論得*.
(3)過點F作FH⊥AB於點H,過點C作CM⊥AB於點M,設BD=a,由(2)可知DE=a,AD=2a,AM=DM=a,*出BE=CE=a,求出BF=a.則可得出*.
【詳解】
解:(1)∵△ACE爲等邊三角形,
∴∠CAE=∠ACB=∠CEA=60°,
∵∠CAE+2∠BAE=90°,
∴∠BAE=15°,
∴∠CBA=∠CEA﹣∠BAE=60°﹣15°=45°,
如圖,過點A作AN⊥BC於點N,
∴△ABN爲等腰直角三角形,
在等邊△ACE中,AN=sin60°•AE==3,
∴AB=AN=3.
(2)*:如圖,過點C作CM⊥AB於點M,設∠EAB=α,
∵∠CAE+2∠BAE=90°,
∴∠CAE=90°﹣2α,
∵AE⊥CD,
∴∠ACD=2α,
∴∠CAB=90°﹣2α+α=90°﹣α,
∴∠ACM=α,
∴CM平分∠ACD,
∴AM=DM=AD,AC=CD=AE,
在△ACM和△EAG中,
,
∴△ACM≌△EAG(AAS),
∴EG=AM,
∴AD=2AM=2EG,
∵AC=AE,∠CAE=90°﹣2α,
∴∠CEA=45°+α,
又∵∠CEA=∠B+∠EAG,
∴∠B=45°,
∵EG⊥AB,
∴△EBG爲等腰直角三角形,
∴BE=EG=AM=AD.
∴AD=BE.
(3)如圖,BF與EC之間的數量關係爲.
過點F作FH⊥AB於點H,過點C作CM⊥AB於點M,
設BD=a,由(2)可知DE=a,AD=2a,AM=DM=a,
∵DE∥CM,BD=DM,
∴BE=CE=a,
∵DE=a,AD=2a,∠ADE=90°,
∴AE==a,
∵CD⊥AE,DE⊥AB,
∴∠EFD=∠ADE=90°
∴∠EDF=∠DAE,
∴△DEF∽△AED,
∴,
∴,
∴EF=a,
∴AF=a﹣a=a,
∴,
∴.
∵FH∥DE,
∴△AFH∽△AED,
∴,
∴FH=a,
∴DH=2a﹣a=a,
∴BH=a+a,
∴BF==a.
∴=.
即BF與EC之間的數量關係爲.
【點睛】
本題是圖形綜合題,涉及特殊三角形的*質,全等三角形的*質和判定,相似三角形的*質和判定,銳角三角函數的運用,解題的關鍵是針對每一小問的條件構造合適的輔助線利用圖形的*質和判定去*.
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題