在平面直角座標系中,直線y=x+2與x軸交於點A,與y軸交於點B,拋物線y=ax2+bx+c(a<0)經過點A...
問題詳情:
在平面直角座標系中,直線y=x+2與x軸交於點A,與y軸交於點B,拋物線y=ax2+bx+c(a<0)經過點A、B.
(1)求a、b滿足的關係式及c的值.
(2)當x<0時,若y=ax2+bx+c(a<0)的函數值隨x的增大而增大,求a的取值範圍.
(3)如圖,當a=﹣1時,在拋物線上是否存在點P,使△PAB的面積爲1?若存在,請求出符合條件的所有點P的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
【分析】(1)求出點A、B的座標,即可求解;
(2)當x<0時,若y=ax2+bx+c(a<0)的函數值隨x的增大而增大,則函數對稱軸x=﹣≥0,而b=2a+1,即:﹣≥0,即可求解;
(3)過點P作直線l∥AB,作PQ∥y軸交BA於點Q,作PH⊥AB於點H,S△PAB=×AB×PH=2×PQ×=1,則|yP﹣yQ|=1,即可求解.
【解答】解:(1)y=x+2,令x=0,則y=2,令y=0,則x=﹣2,
故點A、B的座標分別爲(﹣2,0)、(0,2),則c=2,
則函數表達式爲:y=ax2+bx+2,
將點A座標代入上式並整理得:b=2a+1;
(2)當x<0時,若y=ax2+bx+c(a<0)的函數值隨x的增大而增大,
則函數對稱軸x=﹣≥0,而b=2a+1,
即:﹣≥0,解得:a,
故:a的取值範圍爲:﹣≤a<0;
(3)當a=﹣1時,二次函數表達式爲:y=﹣x2﹣x+2,
過點P作直線l∥AB,作PQ∥y軸交BA於點Q,作PH⊥AB於點H,
∵OA=OB,∴∠BAO=∠PQH=45°,
S△PAB=×AB×PH=2×PQ×=1,
則yP﹣yQ=1,
在直線AB下方作直線m,使直線m和l與直線AB等距離,
則直線m與拋物線兩個交點座標,分別與點AB組成的三角形的面積也爲1,
故:|yP﹣yQ|=1,
設點P(x,﹣x2﹣x+2),則點Q(x,x+2),
即:﹣x2﹣x+2﹣x﹣2=±1,
解得:x=﹣1或﹣1,
故點P(﹣1,2)或(﹣1,1)或(﹣1﹣,﹣).
知識點:各地中考
題型:綜合題