如圖，已知拋物線y=a（x+2）（x-6）與x軸相交於A、B兩點，與y軸交於C點，且tan∠CAB=．設拋物線...

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問題詳情：

如圖，已知拋物線y=a（x+2）（x-6）與x軸相交於A、B兩點，與y軸交於C點，且tan∠CAB=．設拋物線的頂點爲M，對稱軸交x軸於點N．（1）求拋物線的解析式；（2）P爲拋物線的對稱軸上一點，Q（n，0）爲x軸上一點，且PQ⊥PC． ①當點P在線段MN（含端點）上運動時，求n的變化範圍； ②當n取最大值時，求點P到線段CQ的距離； ③當n取最大值時，將線段CQ向上平移t個單位長度，使得線段CQ與拋物線有兩個交點，求t的取值範圍．

【回答】

】解：（1）根據題意得：A（-2，0），B（6，0），在Rt△AOC中，∵，且OA=2，得CO=3，∴C（0，3），將C點座標代入y=a（x+2）（x-6）得：，拋物線解析式爲：；整理得：y=- 故拋物線解析式爲：得：y=-；（2） ①由（1）知，拋物線的對稱軸爲：x=2，頂點M（2，4），設P點座標爲（2，m）（其中0≤m≤4），則PC2=22+（m-3）2，PQ2=m2+（n-2）2，CQ2=32+n2，∵PQ⊥PC，∴在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2，即22+（m-3）2+m2+（n-2）2=32+n2，整理得：=（0≤m≤4），∴當時，n取得最小值爲；當m=4時，n取得最大值爲4，所以，； ② 由①知：當n取最大值4時，m=4， ∴P（2，4），Q（4，0），則，，CQ=5，設點P到線段CQ距離爲h，由，得：，故點P到線段CQ距離爲2； ③由②可知：當n取最大值4時，Q（4，0），∴線段CQ的解析式爲：，設線段CQ向上平移t個單位長度後的解析式爲：，當線段CQ向上平移，使點Q恰好在拋物線上時，線段CQ與拋物線有兩個交點，此時對應的點Q'的縱座標爲：，將Q'（4，3）代入得：t=3，當線段CQ繼續向上平移，線段CQ與拋物線只有一個交點時，聯解得：，化簡得：x2-7x+4t=0，由△=49-16t=0，得，∴當線段CQ與拋物線有兩個交點時，．【解析】

（1）由函數解析式，可以求出點A、B的座標分別爲（-2，0），（6，0），在Rt△OAC中由tan∠CAB=，可以求出點C的座標爲（0，3），進而可以求出拋物線的解析式；（2）①拋物線的對稱軸爲：x=2，頂點M（2，4），在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC2+PQ2=CQ2，把三角形三邊長用點P，Q的座標表達出來，整理得：，利用0≤m≤4，求出n的取值範圍；②由，得：，求出點P到線段CQ距離爲2；③設線段CQ向上平移t個單位長度後的解析式爲：，聯立拋物線方程，可求出x2-7x+4t=0，由△=49-16t=0，得， ∴當線段CQ與拋物線有兩個交點時，主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，處理問題和解決問題．