在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交於點O,設銳角∠AOB=α,將△DOC按逆時針方向旋轉得到△D′OC′...
問題詳情:
在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交於點O,設銳角∠AOB=α,將△DOC
按逆時針方向旋轉得到△D′OC′(0°<旋轉角<90°)連接AC′、BD′,AC′與BD′相交於點M.
(1)當四邊形ABCD爲矩形時,如圖1.求*:△AOC′≌△BOD′.
(2)當四邊形ABCD爲平行四邊形時,設AC=kBD,如圖2.
①猜想此時△AOC′與△BOD′有何關係,*你的猜想;
②探究AC′與BD′的數量關係以及∠AMB與α的大小關係,並給予*.
【回答】
(1)*:在矩形ABCD中,
∵AC=BD,OA=OC=AC,OB=OD=BD,
∴OA=OC=OB=OD,
∵△D′OC′由△DOC旋轉得到,
∴OD=OD′,OC=OC′,∠D′OD=∠C′OC,
∴OB=OD′=OA=OC′,
∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC,
即∠BOD′=∠AOC′,∴△BOD′≌△AOC′
(2)①猜想:△BOD′∽△AOC′.
*:在平行四邊形ABCD中,OB=OD,OA=OC,
∵△D′OC′由△DOC旋轉得到,
∴OD=OD′,OC=OC′,∠D′OD=∠C′OC,
∴OB:OA=OD′:OC′,180°-∠D′OD=180°-∠C′OC,
∴∠BOD′=∠AOC′,∴△BOD′∽△AOC′
②結論:AC′=kBD′,∠AMB=α
*:∵△BOD′∽△AOC′,∴,即AC′=kBD′
設BD′與AC相交於點N,∵△BOD′∽△AOC′,∴∠OBM=∠OAM,
在△ANM與△BNO中,又∵∠ANM=∠BNO,
∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO,
即∠AMB=∠AOB=α.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題