（1）已知，點P是正方形ABCD內的一點，連PA、PB、PC．將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位...

問題詳情：

（1）已知，點P是正方形ABCD內的一點，連PA、PB、PC．將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置（如圖1），設AB的長爲a，PB的長爲b（b＜a），求△PAB旋轉到△P′CB的過程中邊PA所掃過區域（圖1中*影部分）的面積；

【實際運用】：

（2）如圖2，點P是等腰Rt△ABC內一點，AB=BC，連接PA，PB，PC．若PA=2，PB=4，PC=6，求∠APB的大小；

【拓展延伸】：

（3）如圖3，點P是等邊△ABC內一點，PA=3，PB=4，PC=5，則△APC的面積是　　（直接填*）

【回答】

【考點】四邊形綜合題．

【分析】（1）依題意，將△P′CB逆時針旋轉90°可與△PAB重合，此時*影部分面積=扇形BAC的面積﹣扇形BPP'的面積，根據旋轉的*質可知，兩個扇形的中心角都是90°，可據此求出*影部分的面積．

（2）連結PP′，求出△PBP′是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的*質可得PP′=4，∠BP′P=45°，再利用勾股定理逆定理求出∠CP′P=90°，然後計算即可得解；

（3）根據全等三角形的面積相等求出△APB與△APC的面積之和等於四邊形APCP1的面積，然後根據等邊三角形的面積與直角三角形的面積列式計算即可得解，同理求出△ABP和△BPC的面積的和，△APC和△BPC的面積的和，從而求出△ABC的面積，然後根據△BPC的面積=△ABC的面積﹣△APB與△APC的面積的和計算即可得解．

【解答】解：（1）∵將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置，

∴△PAB≌△P'CB，

∴S△PAB=S△P'CB，

S*影=S扇形BAC﹣S扇形BPP′=（a2﹣b2）；

（2）如圖2，連結PP′．

∵將△PAB繞B點順時針旋轉90°，與△P′CB重合，

∴△PAB≌△P′CB，∠PBP′=90°，

∴BP=BP′，∠APB=∠CP′B，AP=CP′=2，

∴△PBP′是等腰直角三角形，

∴PP′=PB=4，∠BP′P=45°．

在△CPP′中，∵PP′=4，CP′=2，PC=6，

∴PP′2+CP′2=PC2，

∴△CP′P是直角三角形，∠CP′P=90°，

∴∠CP′B=∠BP′P+∠CP′P=45°+90°=135°；

（3）如圖3①，將△PAB繞A點逆時針旋轉60°得到△P1AC，連結PP1，

∴△APB≌△AP1C，

∴AP=AP1，∠PAP1=60°，CP1=BP=4，

∴△PAP1是等邊三角形，

∴PP1=AP=3，

∵CP=5，CP1=4，PP1=3，

∴PP12+CP12=CP2，

∴△CP1P是直角三角形，∠CP1P=90°，

∴S△APP1=×3×=，S△PP1C=×3×4=6，

∴S四邊形APCP1=S△APP1+S△PP1C=+6；

∵△APB≌△AP1C，

∴S△ABP+S△APC=S四邊形APCP1=+6；

如圖3②，同理可求：△ABP和△BPC的面積的和=×4×+×3×4=4+6，

△APC和△BPC的面積的和=×5×+×3×4=+6，

∴△ABC的面積=（+6+4+6++6）=+9，

∴△APC的面積=△ABC的面積﹣△APB與△BPC的面積的和=（+9）﹣（4+6）=+3．

故*爲+3．

【點評】本題考查了旋轉的*質：旋轉前後兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等於旋轉角．也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定與*質，三角形的面積，其中（3）較爲複雜，求出△ABC的面積是解題的關鍵．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：綜合題