如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD爲矩形，PA⊥平面ABCD，E爲PD的中點．             ...

問題詳情：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD爲矩形，PA⊥平面ABCD，E爲PD的中點．               

(1) *：PB∥平面AEC               

(2) 設二面角D-AE-C爲60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積

【回答】

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連接BD交AC於O點，連接EO，只要*EO∥PB，即可*PB∥平面AEC；（Ⅱ）延長AE至M連結DM，使得AM⊥DM，說明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱錐E-ACD的體積

試題解析：(1)*：連接BD交AC於點O，連接EO.

因爲ABCD爲矩形，所以O爲BD的中點．

又E爲PD的中點，所以EO∥PB.

因爲EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

(2)因爲PA⊥平面ABCD，ABCD爲矩形，

所以AB，AD，AP兩兩垂直．

如圖，以A爲座標原點，，AD，AP的方向爲x軸y軸z軸的正方向，||爲單位長，建立空間直角座標系A­xyz，則D，E，＝.

設B(m，0，0)(m>0)，則C(m，，0)，＝(m，，0)．

設n1＝(x，y，z)爲平面ACE的法向量，

則即

可取n1＝.

又n2＝(1，0，0)爲平面DAE的法向量，

由題設易知|cos〈n1，n2〉|＝，即

＝，解得m＝.

因爲E爲PD的中點，所以三棱錐E­ACD的高爲.三棱錐E­ACD的體積V＝××××＝.

考點：二面角的平面角及求法；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定

知識點：空間幾何體

題型：解答題