問題背景:如圖1,在四邊形中,,,,,,繞B點旋轉,它的兩邊分別交、於E、F.探究圖中線段,,之間的數量關係....
問題詳情:
問題背景:如圖1,在四邊形中,,,,,,繞B點旋轉,它的兩邊分別交、於E、F.探究圖中線段,,之間的數量關係.小李同學探究此問題的方法是:延長到G,使,連接,先*,再*,可得出結論,他的結論就是_______________;
探究延伸1:如圖2,在四邊形中,,,,,繞B點旋轉,它的兩邊分別交、於E、F.上述結論是否仍然成立?請直接寫出結論(直接寫出“成立”或者“不成立”),不要說明理由.
探究延伸2:如圖3,在四邊形中,,,,繞B點旋轉,它的兩邊分別交、於E、F.上述結論是否仍然成立?並說明理由.
實際應用:如圖4,在某次*事演習中,艦艇*在指揮中心(O處)北偏西的A處艦艇乙在指揮中心南偏東的B處,並且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令後,艦艇*向正東方向以75海里/小時的速度前進,同時艦艇乙沿北偏東的方向以100海里/小時的速度前進,1.2小時後,指揮中心觀測到*、乙兩艦艇分別到達E、F處,且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角爲,試求此時兩艦艇之間的距離.
【回答】
EF=AE+CF.探究延伸1:結論EF=AE+CF成立.探究延伸2:結論EF=AE+CF仍然成立.實際應用:210海里.
【解析】
延長到G,使,連接,先*,可得BG=BE,∠CBG=∠ABE,再*,可得GF=EF,即可解題;
探究延伸1:延長到G,使,連接,先*,可得BG=BE,∠CBG=∠ABE,再*,可得GF=EF,即可解題;
探究延伸2:延長到G,使,連接,先*,可得BG=BE,∠CBG=∠ABE,再*,可得GF=EF,即可解題;
實際應用:連接EF,延長AE,BF相交於點C,然後與探究延伸2同理可得EF=AE+CF,將AE和CF的長代入即可.
【詳解】
解:EF=AE+CF
理由:延長到G,使,連接,
在△BCG和△BAE中,
,
∴(SAS),
∴BG=BE,∠CBG=∠ABE,
∵∠ABC=120°,∠MBN=60°,
∴∠ABE+∠CBF=60°,
∴∠CBG+∠CBF=60°,
即∠GBF=60°,
在△BGF和△BEF中,
,
∴△BGF≌△BEF(SAS),
∴GF=EF,
∵GF=CG+CF=AE+CF,
∴EF=AE+CF.
探究延伸1:結論EF=AE+CF成立.
理由:延長到G,使,連接,
在△BCG和△BAE中,
,
∴(SAS),
∴BG=BE,∠CBG=∠ABE,
∵∠ABC=2∠MBN,
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC,
∴∠CBG+∠CBF=∠ABC,
即∠GBF=∠ABC,
在△BGF和△BEF中,
,
∴△BGF≌△BEF(SAS),
∴GF=EF,
∵GF=CG+CF=AE+CF,
∴EF=AE+CF.
探究延伸2:結論EF=AE+CF仍然成立.
理由:延長到G,使,連接,
∵,∠BCG+∠BCD=180°,
∴∠BCG=∠BAD
在△BCG和△BAE中,
,
∴(SAS),
∴BG=BE,∠CBG=∠ABE,
∵∠ABC=2∠MBN,
∴∠ABE+∠CBF=∠ABC,
∴∠CBG+∠CBF=∠ABC,
即∠GBF=∠ABC,
在△BGF和△BEF中,
,
∴△BGF≌△BEF(SAS),
∴GF=EF,
∵GF=CG+CF=AE+CF,
∴EF=AE+CF.
實際應用:連接EF,延長AE,BF相交於點C,
∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,∠EOF=70°,
∴∠EOF=∠AOB
∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,
∴符合探索延伸中的條件
∴結論EF= AE+CF仍然成立
即EF=75×1.2+100×1.2=210(海里)
答:此時兩艦艇之間的距離爲210海里.
【點睛】
本題考查了全等三角形的判定與*質.作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題