設函數f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b(0<a<1)．(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間和極值...

問題詳情：

設函數f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x＋b(0<a<1)．

(Ⅰ)求函數f(x)的單調區間和極值；

(Ⅱ)若當x∈[a＋1，a＋2]時，恆有|f′(x)|≤a，試確定a的取值範圍；

(Ⅲ)當a＝時，關於x的方程f(x)＝0在區間[1,3]上恆有兩個相異的實根，求實數b的取值範圍．

【回答】

解　(1)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－a)(x－3a)．

令f′(x)＝0，得x＝a或x＝3a.

當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：

∴f(x)在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是減函數，在(a,3a)上是增函數．

當x＝a時，f(x)取得極小值，f(x)極小＝f(a)＝b－a3；

當x＝3a時，f(x)取得極大值，f(x)極大＝f(3a)＝b.…………………………4分

(2)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2，其對稱軸爲x＝2a.

因爲0<a<1，所以2a<a＋1.

所以f′(x)在區間[a＋1，a＋2]上是減函數．

當x＝a＋1時，f′(x)取得最大值，f′(a＋1)＝2a－1；

當x＝a＋2時，f′(x)取得最小值，f′(a＋2)＝4a－4.

於是有即≤a≤1.又因爲0<a<1，所以≤a<1.……………………8分

(3)當a＝時，f(x)＝－x3＋x2－x＋b.

f′(x)＝－x2＋x－，由f′(x)＝0，即－x2＋x－＝0，

解得x1＝，x2＝2，即f(x)在上是減函數，

在上是增函數，在(2，＋∞)上是減函數．

要使f(x)＝0在[1,3]上恆有兩個相異實根，即f(x)在(1,2)，(2,3)上各有一個實根，

於是有解得0<b≤.………………………12分

知識點：導數及其應用

題型：解答題