如圖，△ABC內接於⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交於點H，AC的延長線與過點B的直線相交於點E，且∠A...
問題詳情：
如圖，△ABC內接於⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交於點H，AC的延長線與過點B的直線相交於點E，且∠A=∠EBC．
（1）求*：BE是⊙O的切線；
（2）已知CG∥EB，且CG與BD、BA分別相交於點F、G，若BG•BA=48，FG=
，DF=2BF，求AH的值．
【回答】
（1）*見解析；（2）
．
【解析】
（1）欲*BE是⊙O的切線，只要*∠EBD=90°．
（2）由△ABC∽△CBG，得
求出BC，再由△BFC∽△BCD，得
=BF•BD求出BF，CF，CG，GB，再通過計算髮現CG=AG，進而可以*CH=CB，求出AC即可解決問題．
【詳解】
（1）連線CD，
∵BD是直徑，
∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，
∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，
∴∠CBD+∠EBC=90°，
∴BE⊥BD，
∴BE是⊙O切線．
（2）∵CG∥EB，
∴∠BCG=∠EBC，
∴∠A=∠BCG，
∵∠CBG=∠ABC
∴△ABC∽△CBG，
∴
，即
=BG•BA=48，
∴BC=
，
∵CG∥EB，
∴CF⊥BD，
∴△BFC∽△BCD，
∴
=BF•BD，
∵DF=2BF，
∴BF=4，
在RT△BCF中，CF=
=
，
∴CG=CF+FG=
，
在RT△BFG中，BG=
=
，
∵BG•BA=48，
∴BA=
，即AG=
，
∴CG=AG，
∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，
∴∠CHF=∠CBF，∴CH=CB=
，
∵△ABC∽△CBG，
∴
，
∴AC=
=
，
∴AH=AC﹣CH=
．
【點睛】
*切線常用方法為連結切點與圓心，通過角的代換或者全等，平行等來*直角．並且構造直徑所對的圓周角是常見找直角的方法．靈活運用圓周角定理找等角及相似三角形．
知識點：點和圓、直線和圓的位置關係
題型：解答題
