設數列{an}的前n項和為Sn,對任意的正整數n,都有Sn=2an+n-3成立.(1)求*:數列{an-1}為...
問題詳情:
設數列{an}的前n項和為Sn,對任意的正整數n,都有Sn=2an+n-3成立.
(1)求*:數列{an-1}為等比數列;
(2)求數列{nan}的前n項和Tn.
【回答】
解 (1)*:當n=1時,S1=2a1+1-3,得a1=2,
由Sn=2an+n-3,得Sn+1=2an+1+n+1-3,
兩式相減得an+1=2an+1-2an+1,
即an+1=2an-1,
=2,而a1-1=1,
∴數列{an-1}是首項為1,公比為2的等比數列.
(2)由(1)得an-1=1·2n-1=2n-1,即an=2n-1+1,
nan=n(2n-1+1)=n·2n-1+n,
∴Tn=(1×20+1)+(2×21+2)+(3×22+3)+…+(n·2n-1+n)=(1×20+2×21+3×22+…+n·2n-1)+(1+2+3+…+n)=(1×20+2×21+3×22+…+n·2n-1)+.
令Vn=1×20+2×21+3×22+…+n·2n-1,
則2Vn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,
兩式相減得
-Vn=1+21+22+…+2n-1-n·2n=-n·2n=2n-1-n·2n,
∴Vn=n·2n-2n+1=(n-1)2n+1,
∴Tn=(n-1)2n++1.
知識點:數列
題型:解答題