正項數列{an}的前n項和為Sn,滿足an=2﹣1.若對任意的正整數p、q(p≠q),不等式SP+Sq>kSp...
問題詳情:
正項數列{an}的前n項和為Sn,滿足an=2﹣1.若對任意的正整數p、q(p≠q),不等式SP+Sq>kSp+q恆成立,則實數k的取值範圍為 .
【回答】
.
【考點】8H:數列遞推式.
【分析】an=2﹣1,可得Sn=,n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1,利用已知可得:an﹣an﹣1=2.利用等差數列的求和公式可得Sn,再利用基本不等式的*質即可得出.
【解答】解:∵an=2﹣1,∴Sn=,
∴n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1=﹣,
化為:(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0,
∵∀n∈N*,an>0,
∴an﹣an﹣1=2.
n=1時,a1=S1=,解得a1=1.
∴數列{an}是等差數列,首項為1,公差為2.
∴Sn=n+=n2.
∴不等式SP+Sq>kSp+q化為:k<,
∵>,對任意的正整數p、q(p≠q),不等式SP+Sq>kSp+q恆成立,
∴.
則實數k的取值範圍為.
故*為:.
知識點:數列
題型:填空題