設函式（其中）．（1）求函式的單調區間；（2）當時，討論函式的零點個數．

問題詳情：

設函式（其中）．

（1）求函式的單調區間；

（2）當時，討論函式的零點個數．

【回答】

：（1）函式的定義域為，，

①當時，令，解得，所以的單調遞減區間是，單調遞增區間是，

②當時，令，解得或，

所以在和上單調遞增，在上單調遞減，

③當時，，在上單調遞增，

④當時，令，解得或，所以在和上單調遞增，在上單調遞減；

（2），①當時，由（1）知，當時，，此時無零點，

當時，，

又在上單調遞增，所以在上有唯一的零點，

故函式在定義域上有唯一的零點，

②當時，由（1）知，當時，，此時無零點；

當時，，，

令，則，

因為在上單調遞增，，

所以在上單調遞增，得，即，所以在上有唯一的零點，故函式在定義域上有唯一的零點．

綜全①②知，當時函式在定義域上有且只有一個零點．

知識點：導數及其應用

題型：解答題