如圖,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF．...

問題詳情：

如圖,△ABC是等腰直角三角形, AB=AC,D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF．

（1）請說明：DE=DF；

（2）請說明：BE2+CF2=EF2；

（3）若BE=6，CF=8，求△DEF的面積（直接寫結果）．

【回答】

（1）*見解析；（2）*見解析；（3）25.

【分析】

（1）連線AD，根據等腰直角三角形*質和直角三角形斜邊上中線*質求出∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°，AD=BD，求出∠BDE=∠ADF，根據ASA*△BDE≌△ADF即可；

（2）根據AAS*△ADE≌△CDF，推出AE=CF，根據勾股定理求出即可；

（3）求出EF長，根據勾股定理求出DE和DF，根據三角形的面積公式求出即可．

【詳解】

（1）*：連線AD，

∵等腰直角三角形ABC，

∴∠C=∠B=45°，

∵D為BC的中點，

∴AD⊥BC，AD=BD=DC，AD平分∠BAC，

∴∠DAC=∠BAD=45°=∠B，∠ADC=90°，

∵DE⊥DF，

∴∠EDF=90°，

∴∠ADF+∠FDC=90°，∠FDC+∠BDE=90°，

∴∠BDE=∠ADF，

在△BDE和△ADF中

，

∴△BDE≌△ADF，

∴DE=DF．

（2）*：∵△BDE≌△ADF，

∴BE=AF，

∵∠EDF=∠ADC=90°，

∴∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°，

∴∠EDA=∠FDC，

在△ADE和△CDF中

，

∴△ADE≌△CDF，

∴CF=AE，

∴EF2=AE2+AF2=BE2+CF2，

即BE2+CF2=EF2．

（3）解：EF2=BE2+CF2=100，

∴EF=10，

根據勾股定理DE=DF=5，

△DEF的面積是DE×DF=×5×5=25．

答：△DEF的面積是25．

【點睛】

本題考查了等腰直角三角形*質，勾股定理，三角形的面積，直角三角形斜邊上的中線*質等知識點的應用，關鍵是①小題構造三角形ADF，*△BDE和△ADF全等，②小題求出CF=AE，目比較典型，但有點難度．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題