已知函式. ⑴若,求曲線在點處的切線方程;⑵若函式在其定義域內為增函式,設函式,若在上至少存在一點,使得成立,...
問題詳情:
已知函式.
⑴若,求曲線在點處的切線方程;
⑵若函式在其定義域內為增函式,設函式,若在上至少存在一點,使得成立,求實數的取值範圍.
【回答】
解: ⑴當時,函式,.,
曲線在點處的切線的斜率為.
從而曲線在點處的切線方程為,即. …3分
⑵.令,
要使在定義域內是增函式,只需在內恆成立. …5分
由題意,的圖象為開口向上的拋物線,對稱軸方程為,
∴,只需,即時, ………7分
∴在內為增函式,正實數的取值範圍是. ………8分
∵在上是減函式,∴時,;時,,即, ………10分
當時,由⑵知在上是增函式,,又在上是減函式,故只需,,而,,
即,解得,而,所以實數的取值範圍是
知識點:導數及其應用
題型:解答題