如圖，在直四稜柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，點P是側稜C1C的中點．（1）求*：AC...

問題詳情：

如圖，在直四稜柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，點P是側稜C1C的中點．

（1）求*：AC1∥平面PBD；

（2）求*：BD⊥A1P．

【回答】

【解析】（1）連線AC交BD於O點，連線OP，

因為四邊形ABCD是正方形，對角線AC交BD於點O，

所以O點是AC的中點，所以AO=OC．

又因為點P是側稜C1C的中點，所以CP=PC1，

在△ACC1中，，所以AC1∥OP，

又因為OP⊂面PBD，AC1⊄面PBD，所以AC1∥平面PBD．6分

（2）連線A1C1．

因為ABCD–A1B1C1D1為直四稜柱，所以側稜C1C垂直於底面ABCD，

又BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD，

因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

又AC∩CC1=C，AC⊂面AC1，CC1⊂面AC1，所以BD⊥面AC1，

又因為P∈CC1，CC1⊂面ACC1A1，所以P∈面ACC1A1，

因為A1∈面ACC1A1，所以A1P⊂面AC1，所以BD⊥A1P．（12分）

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題