問題詳情:
如圖,拋物線y=ax2+bx+c經過點A(1,2)、B(2,1)和C(-2,-1)三點.(1)求拋物線的解析式;(2)反比例函式y=
的圖象的一個分支經過點C,並且另個分支與拋物線在第一象限相交.①求出k的值;②反比函式y=
的圖象是否經過點A和點B,試說明理由;③若點P(a,b)是反比例函式y=
在第三象限的圖象上的一個動點,連線AB、PA、PB,請問是否存在這樣的一點P使△PAB的面積為3?如果存在,試求出所有符合條件的點P的座標;如果不存在,請說明理由.
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分析:(1)根據待定係數法將A,B,C三點座標代入拋物線y=ax2+bx+c中,即可求得拋物線的解析式;(2)①根據C點的座標即可求出反比例函式的解析式y=
;②由k的值等於2,若A,B兩點的橫縱座標相乘等於2,則反比例函式就經過該點.③直接求△PAB的面積不容易,可以過P作PE∥x軸,作AD⊥PE於D,BE⊥PE於E,先求出四邊形ABEP的面積,再減去△BPE的面積,即得△PAB的面積,令其等於3,即可求得滿足條件的點P.
解答:解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A(1,2)、B(2,1)和C(-2,-1)三點∴
|
a+b+c=2 |
4a+2b+c=1 |
4a-2b+c=-1 |
|
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解得:
(2分)∴拋物線的解析式為y=-
x2+
+2(3分)(2)①反比例函式y=
的圖象的一個分支經過點C(-2,-1)∴k=(-2)×(-1)=2(5分)②由①知k的值為2,所以反比例函式的解析式為y=
,∵1×2=2=k,∴點A(1,2)在反比例函式y=
的圖象上,同理點B(2,1)也在反比例函式y=
的圖象上,即反比函式y=
的圖象經過點A和點B,(8分)③存在(9分)設點P的座標為(a,b)因為點P(a,b)在y=
上,所以點P的座標為(a,
)作PE∥x軸,作AD⊥PE,BE⊥PE,垂足分別為D、E.則PD=-a+1,PE=-a+2,AD=-
+2,BE=-
+1(10分)∴S△ADP=
AD•PD=
(-
+2)(-a+1)=-a-
+2∴S梯形ABED=
(AD+BE)•DE=
-
∴S△BPE=
PE•BE=-
a-
+2∴S△PAB=S△ADP+S梯形ABED-S△BPE=-
a-
+
(12分)若△PAB的面積為3則-
a-
+
=3∴a2+3a+2=0∴a1=-1,a2=-2經檢驗a1=-1,a2=-2都是方程-
a-
+
=3的解所以點P的座標為(-1,-2)或(-2,-1)(13分)
點評:本題主要考查了待定係數法求反比例函式的解析式,同時在求解三角形的面積時,要靈活的運用割補法進行求解.
【回答】
分析:(1)根據待定係數法將A,B,C三點座標代入拋物線y=ax2+bx+c中,即可求得拋物線的解析式;(2)①根據C點的座標即可求出反比例函式的解析式y=
;②由k的值等於2,若A,B兩點的橫縱座標相乘等於2,則反比例函式就經過該點.③直接求△PAB的面積不容易,可以過P作PE∥x軸,作AD⊥PE於D,BE⊥PE於E,先求出四邊形ABEP的面積,再減去△BPE的面積,即得△PAB的面積,令其等於3,即可求得滿足條件的點P.
解答:解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c經過點A(1,2)、B(2,1)和C(-2,-1)三點∴
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a+b+c=2 |
4a+2b+c=1 |
4a-2b+c=-1 |
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解得:
(2分)∴拋物線的解析式為y=-
x2+
+2(3分)(2)①反比例函式y=
的圖象的一個分支經過點C(-2,-1)∴k=(-2)×(-1)=2(5分)②由①知k的值為2,所以反比例函式的解析式為y=
,∵1×2=2=k,∴點A(1,2)在反比例函式y=
的圖象上,同理點B(2,1)也在反比例函式y=
的圖象上,即反比函式y=
的圖象經過點A和點B,(8分)③存在(9分)設點P的座標為(a,b)因為點P(a,b)在y=
上,所以點P的座標為(a,
)作PE∥x軸,作AD⊥PE,BE⊥PE,垂足分別為D、E.則PD=-a+1,PE=-a+2,AD=-
+2,BE=-
+1(10分)∴S△ADP=
AD•PD=
(-
+2)(-a+1)=-a-
+2∴S梯形ABED=
(AD+BE)•DE=
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∴S△BPE=
PE•BE=-
a-
+2∴S△PAB=S△ADP+S梯形ABED-S△BPE=-
a-
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(12分)若△PAB的面積為3則-
a-
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=3∴a2+3a+2=0∴a1=-1,a2=-2經檢驗a1=-1,a2=-2都是方程-
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=3的解所以點P的座標為(-1,-2)或(-2,-1)(13分)
點評:本題主要考查了待定係數法求反比例函式的解析式,同時在求解三角形的面積時,要靈活的運用割補法進行求解.
知識點:
題型: