已知函数f(x)=x3﹣x2﹣3x,直线l:9x+2y+c=0.若当x∈[﹣2,2]时,函数y=f(x)的图象...
问题详情:
已知函数f(x)=x3﹣x2﹣3x,直线l:9x+2y+c=0.若当x∈[﹣2,2]时,函数y=f(x)的图象恒在直线l的下方,则c的取值范围是 .
【回答】
c<﹣ .
考点: 利用导数求闭区间上函数的最值.
专题: 导数的综合应用.
分析: 分离参数,构造函数,求出函数再闭区间上的最值即可.
解答: 解:∵当x∈[﹣2,2]时,函数y=f(x)的图象恒在直线l的下方,
即x3﹣x2﹣3x<﹣x﹣,在x∈[﹣2,2]时恒成立,
即c<﹣x3+2x2﹣3x,
令g(x)=﹣x3+2x2﹣3x,
∴g'(x)=﹣2x2+4x﹣3,
∵g'(x)=﹣2x2+4x﹣3=﹣2(x﹣1)2﹣1<0恒成立,
∴g(x)在∈[﹣2,2]上单调递减,
故当x∈[﹣2,2]时,[g(x)]min=g(2)=﹣
∴c<﹣,
故*为:c<﹣,
点评: 本题主要考查函数的求导运算、闭区间上的恒成立问题.闭区间上的恒成立问题一般都是转化为求最值,即使参数大于最大值或小于最小值的问题.
知识点:导数及其应用
题型:填空题