已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根...
问题详情:
已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根,有下列结论:①b2﹣4ac>0;②abc<0;③m>2,其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【回答】
D【考点】二次函数图象与系数的关系.
【分析】根据抛物线与x轴的交点个数对①进行判断;由抛物线开口方向得a<0,由抛物线的对称轴在y轴的右侧得b>0,由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c>0,则可对②进行判断;由ax2+bx+c﹣m=0没有实数根得到抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m没有公共点,加上二次函数的最大值为2,则m>2,于是可对③进行判断.
【解答】解:∵抛物线与x轴有2个交点,
∴b2﹣4ac>0,所以①正确;
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,
∴b>0,
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∴abc<0,所以②正确;
∵ax2+bx+c﹣m=0没有实数根,
即抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m没有公共点,
∵二次函数的最大值为2,
∴m>2,所以③正确.
故选D.
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由△决定:△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
知识点:二次函数的图象和*质
题型:选择题