如图,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=a,以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC,BC相切于点E,F,与...
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如图,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=a,以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC,BC相切于点E,F,与AB分别交于点G,H,且EH的延长线和CB的延长线交于点D,则CD的长为________.
【回答】
a 【考点】切线的*质 【解析】【解答】解:如图,连接OE、OF, ∵由切线的*质可得OE=OF=⊙O的半径,∠OEC=∠OFC=∠C=90°, ∴OECF是正方形, ∵由△ABC的面积可知 ×AC×BC= ×AC×OE+ ×BC×OF, ∴OE=OF= a=EC=CF,BF=BC﹣CF=0.5a,GH=2OE=a, ∵由切割线定理可得BF2=BH•BG, ∴ a2=BH(BH+a), ∴BH= a或BH= a(舍去), ∵OE∥DB,OE=OH, ∴△OEH∽△BDH, ∴ = , ∴BH=BD,CD=BC+BD=a+ a= a. 故*为: a. 【分析】连接OE、OF,由切线的*质结合结合直角三角形可得到正方形OECF,并且可求出⊙O的半径为0.5a,则BF=a﹣0.5a=0.5a,再由切割线定理可得BF2=BH•BG,利用方程即可求出BH,然后又因OE∥DB,OE=OH,利用相似三角形的*质即可求出BH=BD,最终由CD=BC+BD,即可求出*.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:填空题