已知函數f(x)=x3-ax2-3x.(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函數,求實數a的取值範圍;(2)...
問題詳情:
已知函數f(x)=x3-ax2-3x.
(1)若f(x)在x∈[1,+∞)上是增函數,求實數a的取值範圍;
(2)若方程f(x)=(a2-3)x-1(a>0)至多有兩個解,求實數a的取值範圍.
【回答】
解:(1)f′(x)=3x2-2ax-3≥0,∵x≥1,∴a≤(x-).
當x≥1時,(x-)是增函數,其最小值為(1-1)=0,∴a≤0.
(2)令h(x)=f(x)-(a2-3)x+1,h′(x)=3x2-2ax-a2=0,
得x=a或x=-,∵a>0,∴有
x | (-∞,-) | - | (-,a) | a | (a,+∞) |
h′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
h(x) | a3+1 | -a3+1 |
∴x=-時h(x)有極大值,h(x)極大值=h(-)=a3+1.
x=a時h(x)有極小值,h(x)極小值=h(a)=-a3+1,
∵若方程f(x)=(a2-3)x-1(a>0)至多有兩個解,
∴h(a)≥0或h(-)≤0,
∴-a3+1≥0或a3+1≤0(舍),解得0<a≤1.
知識點:導數及其應用
題型:解答題