如圖1，直線AB分別與x軸、y軸交於A、B兩點，OC平分∠AOB交AB於點C，點D為線段AB上一點，過點D作D...

問題詳情：

如圖1，直線AB分別與x軸、y軸交於A、B兩點，OC平分∠AOB交AB於點C，點D為線段AB上一點，過點D作DE∥OC交y軸於點E，已知AO=m，BO=n，且m、n滿足n2﹣12n+36+|n﹣2m|=0．

（1）求A、B兩點的座標；

（2）若點D為AB中點，延長DE交x軸於點F，在ED的延長線上取點G，使DG=DF，連接BG．

①BG與y軸的位置關係怎樣？説明理由；

②求OF的長；

（3）如圖2，若點F的座標為（10，10），E是y軸的正半軸上一動點，P是直線AB上一點，且P的橫座標為6，是否存在點E使△EFP為等腰直角三角形？若存在，求出點E的座標；若不存在，説明理由．

【回答】

【解答】（1）由n2﹣12n+36+|n﹣2m|=0．得：（x﹣6）2+|n﹣2m|=0，

∴n=6，m=3，

∴A（3，0），B（0，6）．

（2）①BG⊥y軸．

在△BDG與△ADF中，，

∴△BDG≌△ADF

∴BG=AF，∠G=∠DFA

∵OC平分∠ABC，

∴∠COA=45°，

∵DE∥OC，

∴∠DFA=45°，∠G=45°．

∵∠FOE=90°，

∴∠FEO═45°

∵∠BEG=45°，

∴∠EBG=90°，

即BG與y軸垂直．

②從①可知，BG=FA，△BDE為等腰直角三角形．

∴BG=BE．

設OF=x，則有OE=x，3+x=6﹣x，解得x=1.5，

即：OF=1.5．

（3）∵A（3，0），B（0，6）．

∵直線AB的解析式為：y=﹣2x+6，

∵P點的橫座標為6，

故P（6，﹣6）

要使△EFP為等腰直角三角形，必有EF=EP，且∠FEP═90°，

如圖2，過F、P分別向y軸作垂線垂足分別為M、N．

∵∠FEP═90°

∴∠FEM+∠PEN=90°，又∠FEM+∠MFE=90°

∴∠PEN=∠MFE

∴Rt△FME≌Rt△ENP

∴ME=NP=6，

∴OE=10﹣6=4．

即存在點E（0，4），使△EFP為等腰直角三角形

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題