設函數f(x)=(a∈R).(1)若f(x)在x=0處取得極值,確定a的值,並求此時曲線y=f(x)在點(1,...
問題詳情：
設函數f(x)=
(a∈R).
(1)若f(x)在x=0處取得極值,確定a的值,並求此時曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程.
(2)若f(x)在
上為減函數,求a的取值範圍.
【回答】
【解析】(1)對f(x)求導得f′(x)
=
=
.
因為f(x)在x=0處取得極值,所以f′(0)=0,
即a=0.
當a=0時,f(x)=
,f′(x)=
,故f(1)=
,f′(1)=
,從而
y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-
=
(x-1),化簡得3x-ey=0.
(2)由(1)知f′(x)=
,
令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,
由g(x)=0解得x1=
,x2=
.
當x<x1時,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)為減函數;
當x1<x<x2時,g(x)>0,即f′(x)>0,故f(x)為增函數;
當x>x2時,g(x)<0,即f′(x)<0,故f(x)為減函數;
由f(x)在
上為減函數,
知x2=
≤3,解得a≥-
,
故a的取值範圍為
.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
