已知等邊三角形ABC，AB=12，以AB為直徑的半圓與BC邊交於點D，過點D作DF⊥AC，垂足為F，過點F作F...

問題詳情：

已知等邊三角形ABC，AB=12，以AB為直徑的半圓與BC邊交於點D，過點D作DF⊥AC，垂足為F，過點F作FG⊥AB，垂足為G，連接GD，

（1）求*：DF與⊙O的位置關係並*；

（2）求FG的長．

【回答】

【考點】直線與圓的位置關係；等邊三角形的*質；勾股定理；垂徑定理．

【分析】（1）連接OD，*∠ODF=90°即可．

（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF長，同理可利用△FHC中的60°的三角函數值可求得FG長．

【解答】（1）*：連接OD，

∵以等邊三角形ABC的邊AB為直徑的半圓與BC邊交於點D，

∴∠B=∠C=∠ODB=60°，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，

∵OD是以邊AB為直徑的半圓的半徑，

∴DF是圓O的切線；

（2）∵OB=OD=AB=6，且∠B=60°，

∴BD=OB=OD=6，

∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，

∵在Rt△CFD中，∠C=60°，

∴∠CDF=30°，

∴CF=CD=×6=3，

∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，

∵FG⊥AB，

∴∠FGA=90°，

∵∠FAG=60°，

∴FG=AFsin60°=．

【點評】本題主要考查了直線與圓的位置關係、等邊三角形的*質、垂徑定理等知識，判斷直線和圓的位置關係，一般要猜想是相切，那麼*直線和半徑的夾角為90°即可；注意利用特殊的三角形和三角函數來求得相應的線段長．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：綜合題