已知BC是⊙O的直徑，點D是BC延長線上一點，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求*：直線A...

問題詳情：

已知BC是⊙O的直徑，點D是BC延長線上一點，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．

（1）求*：直線AD是⊙O的切線；

（2）若AE⊥BC，垂足為M，⊙O的半徑為4，求AE的長．

【回答】

【解答】解：（1）如圖，

∵∠AEC=30°，

∴∠ABC=30°，

∵AB=AD，

∴∠D=∠ABC=30°，

根據三角形的內角和定理得，∠BAD=120°，

連接OA，∴OA=OB，

∴∠OAB=∠ABC=30°，

∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，

∴OA⊥AD，

∵點A在⊙O上，

∴直線AD是⊙O的切線；

（2）連接OA，∵∠AEC=30°，

∴∠AOC=60°，

∵BC⊥AE於M，

∴AE=2AM，∠OMA=90°，

在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2，

∴AE=2AM=4．

【點評】此題主要考查了等腰三角形的*質，垂徑定理，切線的判定，鋭角三角函數，三角形內角和定理，圓周角定理，求出∠AOC=60°是解本題的關鍵．

知識點：各地中考

題型：解答題