如圖，⊙O是△ABC的外接圓，O點在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O於點D，連接BD，CD.過點D作BC的平行...

問題詳情：

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，O點在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O於點D，連接BD，CD.過點D作BC的平行線，與AB的延長線相交於點P.

(1)求*：PD是⊙O的切線；

(2)求*：△PBD∽△DCA；

(3)當AB＝6，AC＝8時，求線段PB的長．

【回答】

(1)*：∵圓心O在BC上，

∴BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC＝90°.

如解圖，連接OD.     

                     第17題解圖               

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠DAC.

∵∠DOC＝2∠DAC，

∴∠DOC＝∠BAC＝90°.

即OD⊥BC.

∵PD∥BC，

∴OD⊥PD.

又OD是⊙O的半徑，

∴PD是⊙O的切線；

(2)*：∵PD∥BC，

∴∠P＝∠ABC.

又∠ABC＝∠ADC，

∴∠P＝∠ADC.

∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，

∴∠PBD＝∠ACD.

∴△PBD∽△DCA；

(3)解：∵△ABC是直角三角形，

∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100.

∴BC＝10.

∵OD垂直平分BC，

∴DB＝DC.

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC＝90°.

在等腰直角三角形BDC中．DC＝DB＝5.

∵△PBD∽△DCA，

∴＝，

即PB＝＝＝.

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：綜合題