已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4.(Ⅰ)過原點O(0,0)作圓C的切線,切點分別為H、K,求直線HK的...
問題詳情:
已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4.
(Ⅰ)過原點O(0,0)作圓C的切線,切點分別為H、K,求直線HK的方程;
(Ⅱ)設定點M(-3,8),動點N在圓C上運動,以CM,CN為領邊作平行四邊形MCNP,求點P的軌跡方程;
(Ⅲ)平面上有兩點A(1,0),B(-1,0),點P是圓C上的動點,求|AP|2+|BP|2的最小值;
(Ⅳ)若Q是x軸上的動點,QR,QS分別切圓C於R,S兩點.試問:直線RS是否恆過定點?若是,求出定點座標,若不是,説明理由.
【回答】
【詳解】(Ⅰ)由圓C:(x-3)2+(y-4)2=4,得圓心C(3,4),
則以OC為直徑的圓的方程為,
聯立,得3x+4y-21=0.
∴直線HK的方程為3x+4y-21=0;
(Ⅱ)設P(x,y),圓上的動點N(x0,y0),則
線段CP的中點座標為(,),線段MN的中點座標為(,),
又∵平行四邊形的對角線互相平分,
∴=,=,
可得x0=x+6,y0=y-4.
∵N(x0,y0),即N(x+6,y-4)在圓上,
∴N點座標應滿足圓的方程,
則點P的軌跡方程為:(x+3)2+(y-8)2=4(x);
(Ⅲ)設P(x,y),由兩點間的距離公式知:|AP|2+|BP|2=2(x2+y2)+2=2|OP|2+2.
又P為圓上的點,∴|OP|min=|OC|-r=-2=3,
∴(|AP|2+|BP|2)min=20;
(Ⅳ)由題意∠CSQ=∠CRQ=,則R,S在以QC為直徑的圓上,
設Q(a,0),則以QC為直徑的圓的方程:(x-)2+(y-2)2=,
即x2+y2-(a+3)x-4y+3a=0,
與圓C:x2+y2-6x-8y+21=0聯立得:-a(x-3)+3x+4y-21=0,
故無論a取何值時,直線RS恆過定點(3,3).
知識點:圓與方程
題型:綜合題