．如圖，拋物線y＝與x軸交於A，B（點A在點B的左側）與y軸交於點C，連接AC、BC．過點A作AD∥BC交拋物...

問題詳情：

．如圖，拋物線y＝與x軸交於A，B（點A在點B的左側）與y軸交於點C，連接AC、BC．過點A作AD∥BC交拋物線於點D（8，10），點P為線段BC下方拋物線上的任意一點，過點P作PE∥y軸交線段AD於點E．

（1）如圖1．當PE+AE最大時，分別取線段AE，AC上動點G，H，使GH＝5，若點M為GH的中點，點N為線段CB上一動點，連接EN、MN，求EN+MN的最小值；

（2）如圖2，點F在線段AD上，且AF：DF＝7：3，連接CF，點Q，R分別是PE與線段CF，BC的交點，以RQ為邊，在RQ的右側作矩形RQTS，其中RS＝2，作∠ACB的角平分線CK交AD於點K，將△ACK繞點C順時針旋轉75°得到△A′CK′，當矩形RQTS與△A′CK′重疊部分（面積不為0）為軸對稱圖形時，請直接寫出點P橫座標的取值範圍．

【回答】

【解答】解：（1）在拋物線y＝x2﹣x﹣6中，

當y＝0時，x1＝﹣2，x2＝6，

當x＝0時，y＝﹣6，

∵拋物線y＝x2﹣x﹣6與x軸交於A，B（點A在點B左側），與y軸交於點C，

∴A（﹣2，0），B（6，0），C（0，﹣6），

∴AB＝8，AC＝，BC＝，

在△ABC中，

AC2+BC2＝192，AB2＝192，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠CAD＝90°，

過點D作DL⊥x軸於點L，

在Rt△ADL中，

DL＝10，AL＝10，

tan∠DAL＝＝，

∴∠DAB＝30°，

把點A（﹣2，0），D（8，10）代入直線解析式，

得，

解得k＝，b＝2，

∴yAD＝x+2，

設點E的橫座標為a，EP⊥y軸於點Q，

則E（a， a+2），Q（a，0），P（a， a2﹣a﹣6），

∴EQ＝a+2，EP＝a+2﹣（a2﹣a﹣6）＝a2+a+8，

∴在Rt△AEB中，

AE＝2EQ＝a+4，

∴PE+AE＝a+4+（a2+a+8）

＝a2a+12

＝（a﹣5）2+

∴根據函數的*質可知，當a＝5時，PE+AE有最大值，

∴此時E（5，7），

過點E作EF⊥CB交CB的延長線於點F，

則∠EAC＝∠ACB＝∠ACF＝90°，

∴四邊形ACFE是矩形，

作點E關於CB的對稱點E'，

在矩形ACFE中，由矩形的*質及平移規律知，

xF﹣xE＝xC﹣xA，yE﹣yF＝yA﹣yC，

∵A（﹣2，0），C（0，﹣6），E（5，7），

∴xF﹣5＝0﹣（﹣2），7﹣yF＝0﹣（﹣6），

∴xF＝7，yF＝1，

∴F（7，1），

∵F是EE′的中點，

∴，，

∴xE′＝9，yE′＝﹣5，

∴E'（9，﹣5），

連接AE'，交BC於點N，則當GH的中點M在E′A上時，EN+MN有最小值，

∴AE′＝＝2，

∵M是Rt△AGH斜邊中點，

∴AM＝GH＝，

∴EN+MN＝E′M＝2﹣，

∴EN+MN的最小值是2﹣．

（2）在Rt△AOC中，

∵tan∠ACO＝＝，

∴∠AOC＝30°，

∵KE平分∠ACB，

∴∠ACK＝∠BCK＝45°，

由旋轉知，△CA′K′≌△CAK，∠AC′A′＝75°，

∴∠OCA′＝75°﹣∠ACO＝45°，∠AC′K′＝45°，

∴OCK′＝90°，

∴K′C⊥y軸，△CAK′是等腰直角三角形，

∴A′C＝AC＝4，

∴xA′＝＝2，yA′＝2﹣6，

∴A′（2，2﹣6），

∴K′（4，﹣6），

將A′（2，2﹣6），K′（4，﹣6），代入一次函數解析式，

得，

解得k＝﹣1，b＝4﹣6，

∴yA′K′＝﹣x+4﹣6，

∵CB∥AD，

∴將點C（0，﹣6），B（6，0）代入一次函數解析式，

得，

解得k＝，b＝﹣6，

∴yCB＝x﹣6，

聯立yA′K′＝﹣x+4﹣6和yCB＝x﹣6，

得﹣x+4﹣6＝x﹣6，

∴x＝6﹣6，

∴直線CB與A′K′的交點橫座標是6﹣6，

∵當EP經過A′時，點P的橫座標是2，

∴如圖2，當2＜xP＜6﹣6時，重疊部分是軸對稱圖形；

如圖3，由於RS的長度為2，由圖可看出當xP＝2﹣1時，重疊部分同樣為軸對稱圖形；

綜上，當xP＝2﹣1或2＜xP＜6﹣6時，

矩形RQRS和△A′CK′重疊部分為軸對稱圖形．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題