如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,E為CD上一點,且AE=AB,M為AE的中點.下列結論:①DM=DA;②...
問題詳情:
如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,E為CD上一點,且AE=AB,M為AE的中點.下列結論:
①DM=DA;②EB平分∠AEC;③S△ABE=S△ADE;④BE2=2AE•EC.其中結論正確的個數是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【回答】
C【考點】相似三角形的判定與*質;勾股定理;矩形的*質.
【分析】①由於DM是直角△ADE斜邊AE上的中線,欲*DM=DA,只需*AD=AE即可;②在直角△ADE中,由於∠ADE=90°,AD=AE,得出∠DEA=30°,然後分別算出∠AEB與∠CEB的度數即可;③由於S△ABE=S矩形ABCD,S△ADE<S矩形ABCD,從而進行判斷;④如果設BC=DA=a,則可用含a的代數式表示BC、AE、EC的長度,然後在直角△BCE中運用勾股定理算出BE2的值,再算出2AE•EC的值,比較即可.
【解答】解:①∵在直角△ADE中,∠ADE=90°,M為AE的中點,∴DM=AE,∵AE=AB,AB=2BC=2DA,∴DM=DA,正確;
②在直角△ADE中,∠ADE=90°,AD=AE,∴∠DEA=30°.∵CD∥AB,∴∠EAB=∠DEA=30°,∠CEB=∠ABE.在△EAB中,∠EAB=30°,AE=AB,∴∠AEB=∠ABE=75°,∴∠CEB=75°,∴EB平分∠AEC,正確;
③∵S△ABE=S矩形ABCD,S△ADE<S△ADC=S矩形ABCD,∴S△ABE>S△ADE,錯誤;
④在矩形ABCD中,設BC=DA=a,則AE=AB=DC=2BC=2a,DE=AD=a,∴EC=(2﹣)a.在直角△BCE中,BE2=BC2+CE2=a2+[(2﹣)a]2=(8﹣4)a2,2AE•EC=2×2a×(2﹣)a=(8﹣4)a2,正確.
故選C.
【點評】本題主要考查了直角三角形、矩形的*質以及多邊形的面積,勾股定理.綜合*較強,有一定難度.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:選擇題