如圖，點B、C在線段上，且，點M是線段的中點，點N是線段上的一點，且．（1）若點N是線段的中點，求的長；（2）...

問題詳情：

如圖，點 B 、 C 在線段 上，且 ，點 M 是線段 的中點，點 N 是線段 上的一點，且 ．

（ 1 ）若點 N 是線段 的中點，求 的長；

（ 2 ）當 時，求 的長．

【回答】

（ 1 ） 14 （ 2 ）

【分析】

（ 1 ）根據題意可得出 CM ＝ AC ， CN ＝ CD ，所以 MN ＝ CM+CN ＝ (AC+CD) ＝ AD ＝ 9 ，從而得出 AD 的長，根據 AB ： BC ： CD ＝ 2 ： 3 ： 4 ，可得出 AB 的長，繼而求出 BD 的長；

（ 2 ）根據題意，當 CN ＝ CD 時，設 AB ＝ 2x ， BC ＝ 3x ， CD ＝ 4x ，可得 AC ＝ 5x ，因為點 M 是線段 AC 的中點，可得 CM ＝ 2.5x ，因為 CN ＝ CD ，可求出 CN= x ，根據 MN=9 ，可解出 x 的值，繼而得出 BD 的長；

【詳解】

解：（ 1 ）如圖，

∵ 點 M 是線段 AC 的中點，點 N 是線段 CD 的中點，

∴CM ＝ AC ， CN ＝ CD ，

∴MN ＝ CM+CN ＝ (AC+CD) ＝ AD ＝ 9 ，

∴AD ＝ 18 ，

∵AB ： BC ： CD ＝ 2 ： 3 ： 4 ，

∴AB ＝ ×AD ＝ 4 ，

∴BD ＝ AD ﹣ AB ＝ 18 ﹣ 4 ＝ 14 ；

（ 2 ） ∵ 當 CN ＝ CD 時，如圖，

∵AB ： BC ： CD ＝ 2 ： 3 ： 4 ，

∴ 設 AB ＝ 2x ， BC ＝ 3x ， CD ＝ 4x ，

∴AC ＝ 5x ，

∵ 點 M 是線段 AC 的中點，

∴CM ＝ AC ＝ 2.5x ，

∵CN ＝ CD ＝ x ，

∴CM+CN ＝ x+ x ＝ MN ＝ 9 ，

∴x ＝ ，

∴BD ＝ 7x ＝ ；

【點睛】

本題考查了線段的中點，線段的和與差的計算及線段三等分點的計算．能求出各個線段的長度是解題的關鍵．

知識點：直*、*線、線段

題型：解答題