已知函數f(x)=x3-2x2+ax(x∈R,a∈R),在曲線y=f(x)的所有切線中,有且僅有一條切線l與直...
問題詳情:
已知函數f(x)=x3-2x2+ax(x∈R,a∈R),在曲線y=f(x)的所有切線中,有且僅有一條切線l與直線y=x垂直.求a的值和切線l的方程.
【回答】
解:因為f(x)=x3-2x2+ax,
所以f′(x)=x2-4x+a.
由題意可知,方程f′(x)=x2-4x+a=-1有兩個相等的實根.所以Δ=16-4(a+1)=0,所以a=3.
所以f′(x)=x2-4x+3=-1可化為x2-4x+4=0.
解得切點橫座標為x=2,
所以f(2)=×8-2×4+2×3=,
所以切線l的方程為y-=(-1)×(x-2),即3x+3y-8=0.
所以a=3,切線l的方程為3x+3y-8=0.
知識點:導數及其應用
題型:解答題